考研数学每年的考试范围和知识点基本相同或相近，考试题型的变化幅度也不是很大，方程根的个数问题一直是考研数学考点。小编特意为大家整理了考研高等数学解题方法，包括供大家阅读。

考研高等数学解题方法：方程根的个数问题

方程 =0的根，也就是函数 的零点，有关方程根的问题一般可以利用函数的有关理论加以分析和解决。

主要的分析解决工具包括：

1)函数零点定理：若函数 在 上连续，且 ，则至少存在一点 ，使 ( 称为函数的零点)。

2)函数单调性：若函数 在 上连续且单调(单调增加或单调减少)，则：1)当 时， 在 上有唯一零点;2)当 时， 在 上没有零点。

3)罗尔中值定理：若函数 在 上连续，在 上可导，且 ，则至少存在一点 ，使 。

一般求解步骤：

1)先看有无明显的实根;

2)引入相应函数，写出定义域，判断端点函数值和特殊点函数值的正负;

3)求导数，找出驻点和单调区间，讨论在各单调区间上的实根个数。

典型例题

例1.求方程 不同实根的个数，其中k为参数 (2011年考研数学一第17题)

解析：显然 =0是一个实根。令 ，则 ， ， ， ;若 ， 单调减少， 只有唯一零点，即原方程只有唯一实根x=0;

1)若 ， 在 上都是单调减少，且 ，故 只有唯一零点，原方程只有唯一实根x=0;

2)若 ，当 时， ， 单调增加，而 ，所以 ;当 时， ， 单调减少;由此得： 在区间 上各有一个零点，即原方程在这3个区间上各有一个实根。

综上得：当 时，方程只有一个实根;当 时，方程有3个不同实根。

例2.设有方程 ，其中 为正整数，证明此方程存在唯一正实根 ，并证明当 时，级数 收敛 (2004年考研数学一第18题)

解析：设 ，则 ，由零点定理知 在(0,1)上至少有一个零点。而 ，故 在(0，+∞)上单调增加，因此， 在(0，+∞)上只存在唯一一个零点 ，且0< <1，由 ，得 ，当 时，级数 收敛，由正项级数的比较审敛法知， 收敛。

注：n次方程有n个根，因此方程 的负实根可能有很多个(可能还有复数根)。

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